“数与代数”内容变化及教学建议

作者:邳州市教育局教研室 聂艳军  

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学教育基本理念、数学课程目标和各学段课程内容等进行了完善和修订。为了帮助教师学习和研究修订后的数学课程标准，我们对数学课程四个内容领域的具体变化进行了对比分析，并提出相应的教学建议。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新标准”）关于“数与代数”领域的内容结构没有变化，但“数的认识”“数的运算”“式与方程”的内容发生了一定的变化。

一、“数的认识”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有三个方面的变化：一是内容有所增加。第一学段增加了“知道用算盘可以表示多位数”，“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”。第二学段增加了“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。二是要求适当调整，并使用新标准规定的课程目标术语，使得要求更加明确。例如，第一学段将“认识符号＜，＝，＞的含义”调整为“理解符号＜，＝，＞的含义”；将“识别各数位上的数字表示的意义”调整为“理解各数位上的数字表示的意义”。三是要求表述进一步准确、完整。例如，在第一学段中，将“能认、读、写万以内的数”修改为“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数”；在第二学段中，将“能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流”修改为“会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用”；将“进一步认识小数和分数，认识百分数”修改为“结合具体情境，理解小数和分数的意义,理解百分数的意义”。

“数的认识”内容变化表现出三方面特点：一是突出数概念在小学数学中的核心地位。自然数、整数、小数、分数、百分数等，都是小学数学中最基本的概念，这些概念都是学生今后构建“概念网络图”、学习数的运算、研究数量关系的重要基础，是小学数学中的核心内容。新标准的修改有利于增强内容标准的可操作性，让课程目标切实得以落实。二是突出理解数的意义是认数教学的重点。新标准在继承从数的含义、计数技能、数的相对大小关系、用数进行交流等方面理解数的意义的基础上，进一步丰富学习的途径与内容。例如，引入认数工具算盘，有利于学生了解十进制计数法，了解祖国的传统文化；把比较两个一位小数的大小、比较两个同分母分数的大小单列出来，有利于学生在比较活动中进一步加深对一位小数和同分母分数意义的理解；增加了解公倍数、最小公倍数、公因数、最大公因数的学习，不仅是建立正确数概念的需要，也是学生后面正确开展相关数学活动的需要；强调结合具体情境认识数，不仅能让学生感受数学与生活的联系，而且有利于学生体会数的意义和作用，增强应用数的意识。三是突出数感的学习与培养。数感是数学课程内容的核心之一。数感是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。新标准在“数的认识”学习中，处处体现出对学生数感的培养。在现实情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数的量化功能，不仅有利于学生加深对数的意义的理解，也给学生体会数用来表示和交流的作用、初步建立数感提供了机会；在具体情境中感受大数的意义，开展估计活动，在数量与它们所表示的实际含义建立起联系，能使学生加深对大数的感觉。

2.教学中需要注意的问题。

“数的认识”在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三大块。第一学段认识万以内的整数，初步认识小数和分数；第二学段认识万以上的整数，了解倍数和因数、质数和合数，进一步认识小数、分数和百分数，了解负整数，从而完成有理数系的认识。教学时，要理清每部分内容编排的线索，把握内容的梯度。教学中，还要注意以下几点：

（1）把握认数的本质。

华罗庚先生说：“数起源于数，量起源于量。”数和量都离不开单位。自然数是“十进位值制”的，不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数，例如，2048=2×1000+0×100+4×10+8×1；小数也是如此，其累加的过程与自然数基本相同，只不过分“有限次累加”和“与无限次累加”两类；分数也是其分数单位累加的结果，即先有“分数单位”，再数出单位的个数，个数与分数单位相乘的结果就是“分数”。这样看待“数”，全部“数”的构成与结构就都一致了。进而，我们就能理解“加减法计算的本质就是相同计数单位‘个数’相加减”。

（2）让学生在具体情境中认数。

实践证明，理解数的意义，既需要从数的组成去建构，又需要联系实际来体会。教学数的认识，要把丰富多彩的现实世界当作学生学习数学的背景，引导学生在具体情境中感受数的意义。如，认识整数时，选择现实的、有趣的素材，组织学生在具体情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数的量化功能，有利于学生加深对数的意义的理解，同时也给学生体会数用来表示和交流的作用、建立数感提供机会；初步认识小数时，创设学生熟悉的生活情境，能有效激活学生已有的经验，促进学生对小数含义的领会；认识百分数时，让学生解释每个百分数在具体情境中的含义，举出生活中见到过的百分数并进行解释，学生在交流中能深化对百分数的认识。

（3）借助直观手段教学认数知识。

数是比较抽象的数学概念，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。以认识整数为例，了解十进制计数法教学的重点，十进制计数法的主要内容有两部分：一是计数单位及每相邻两个计数单位间的关系；二是计数法的位值原则。教学中，一方面可以引导学生操作实物、小棒、小方块等学具，认识计数单位，体会计数单位之间的十进关系；另一方面，通过引进计数器、算盘等认数工具，能帮助学生理解位值原则（同一个数字在不同的数位其意义不同，它表示的是不同计数单位的个数），逐渐扩展数位顺序表。再以认识小数、分数为例，如果用正方形表示整数“1”，要求学生用小数、分数表示其中的一部分，能促进学生对小数、分数意义的理解；“数轴显示了数的存在性及其内部结构”，在数轴上建立点与相应的小数、分数的联系，不仅有助于学生理解数的意义，而且有助于沟通整数、小数、分数之间的联系，体会数的稠密性、无限性。

（4）设计活动，促进学生意义建构。

学生对数概念的意义建构，离不开教师对数学活动的科学设计。以分数初步认识为例，为了让学生理解分数是在平均分的时候产生的数，加深对分数意义的理解，动手操作（折纸、涂色）应当成为这部分内容学习最基本、最主要的活动。这种操作活动应置于数学心理学理论的视角下。例如，认识几分之一时，可以利用变式原理，从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对分数的理解越来越概括；认识几分之几时，应注意运用迁移原理，在学生原有认知结构中寻找和确定可以固定新知的相关旧知，促使学生头脑中几分之一的经验向几分之几迁移。

二、“数的运算”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有以下几方面变化：一是把原来第二学段“能口算百以内一位数乘、除两位数”调到第一学段，并连同百以内的加减法改为“能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数”。二是内容有所增加。第一学段增加“认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）”。第二学段增加两条，即“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题。”“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。”三是表述有所变动。在第一学段中，将“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”修改为“能结合具体情境选择适当的单位进行简单的估算，体会估算在生活中的作用”；将“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”。在第二学段中，将“探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算”修改为“探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算”。显然，修改后的表述更加准确、具体，实施过程中更容易操作。

“数的运算”内容调整充分体现继承与创新的和谐统一。一方面，运算能力是数学能力的重要组成部分，它不仅是解决实际问题的需要，也是学生进一步学习和发展的需要。课程改革初期，在数的运算教学方面出现一些矫枉过正的行为，如过分重视算理理解而忽视算法抽象，过分强调算法多样（个性化）而忽视算法优化（形式化），过分强调联系实际而忽视技能形成，过分强调基于经验而忽视分析数量关系以及解题思路的形成等，学生的运算能力以及解决问题的能力一度下滑。修改后的“数的运算”内容标准，彰显对优良传统的继承，一是提高运算能力的要求。口算方面，把一位数乘、除两位数的口算学习从第二学段下移到第一学段，“评价建议”中增加了百以内加减法和一位数乘除两位数口算的速度要求；笔算方面，第一学段增加整数两步四则混合运算学习要求；估算方面，要求更加明确具体。二是充实数的运算内容。数的运算中充满着数与数、数量与数量的关系，新标准增加对常见数量关系的学习，突出对连续量和不连续量的数量关系的形式刻画，提高运用数的运算知识解决简单实际问题的能力。增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”，在学段目标中强调体验与他人合作解决问题的过程、对解决问题过程的回顾，突出学生探究的过程、思考的过程、反思的过程，以帮助学生从中积累数学活动经验，发展数学智慧。

2.教学中需要注意的问题。

（1）引导学生主动建构算法。

重视过程的教育要求教师引导学生经历算法的建构过程，在直接经验的基础上，抽象概括具有一般意义的算法，积累数学活动经验，感悟数学思想方法。在引导学生探索算法的过程中，要注意以下几点：一是“情境创设”与“复习铺垫”的有机融合。学生的学习是一种主动建构的过程，这种建构总是与一定的情境相联系的，但我们也应看到，计算内容之间具有较强的系统性、连贯性，新知识往往是旧知识的延伸，必要的复习铺垫有时也是需要的。二是“算法多样”与“算法优化”的和谐统一。“算法多样化”是学生主动建构算法的具体表现。在提倡算法多样化的同时，充分利用资源性算法，引导学生抽象概括出一般的算法，也是教师的重要职责。三是“算理直观”与“算法抽象”的有效联结。计算教学不仅要让学生知道该怎么计算，还要让学生明白为什么要这样计算，在理解算理的基础上掌握算法。

（2）尊重规律，有效训练。

新标准在教学建议中强调：“基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实”。提高训练的实效性，要科学安排训练内容。复杂的计算技能一般可以分解为几个单一技能，教师应先对单一技能进行针对性训练，并组合形成复合技能，然后安排综合练习，逐步达到正确熟练程度。提高训练的实效性，应注重改善学生的计算心理。例如，传统的“夺红旗”“开火车”等比赛活动，以趣激练，学生愿意积极投入；学生在计算过程中，经常出现把算式中的数字、符号抄错，可以呈现一些典型错例，要求学生纠错、改错，通过信息不断刺激，能让学生养成计算细心的习惯；在应用计算解决实际问题时，启发学生感受到学习计算是为了解决实际问题，体会正确计算的重要，增强计算的责任感；依据“评价建议”中对基本运算技能的指标要求，经常安排计算测查，有利于学生了解自己的计算状况，看到进步、增强信心，等等。

（3）加强估算教学。

估算是运算能力不可缺失的组成部分。估算教学应注意两点：一是把握估算教学的阶段要求。结合具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。在计算的估计中，“凑整计算”的内核就是通过选择适当的单位，借助口算估计笔算结果。例如，学校组织987名学生去公园游玩，公园的门票每张8元，一共需要多少元？我们可以把987人看成1000人进行估算，这里适当的单位就是“1000人”。在度量的估计中，选择适当的单位是指确定合适的计量单位。例如，估计教室的长度时，通常以“米”为单位；估计书本的长度时，通常以“厘米”为单位。也可以用身边熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。在解决问题中能选择合适的方法进行估算是第二学段估算教学的重点。估算的方法既是具体的，又是灵活的，要能满足解决问题的需要。二是有效开展估算教学。在教学数的认识、数的运算、常见的量和测量等教学内容时，应有意识地利用数量估计、度量估计进行估算的渗透，为教学估算作知识准备和思想铺垫；注意让学生在解决实际问题的过程中体会估算的思想，掌握估算的要领；经常安排应用估算探索笔算法则、验算笔算、解决实际问题等活动，培养估算的意识，提高估算能力。

（4）重建解决实际问题教学。

教学解决实际问题，教师应就基础知识和基本思想等方面把握各阶段的教学内容和要求。常见的数量关系是学生分析信息之间关系的基础，是实现由数学问题向解题思路转化的桥梁。教学常见的数量关系，教师应向学生提供丰富的现实素材，引导学生经历从实际问题到数学模型的抽象过程。解决实际问题的教学应以发展学生解题策略为价值取向，第一学段重点让学生运用数及数的运算解决生活中的简单问题，初步学会分析法和综合法等分析数量关系的方法，第二学段结合有关内容向学生介绍常用的解决问题策略。教学中，教师应引导学生经历解决问题的过程，并通过对解题过程与方法的再认与反思，形成对方法的本质特点、价值及使用要领的主观认识；要给学生提供题材丰富、数量关系多变的问题情境，让学生在自主运用和监控策略的使用中，实现由程序性知识向元认知阶段转化。

三、“式与方程”内容变化与教学

1.内容变化情况。

主要有以下三点变化：一是增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。”“式与方程”的学习，标志学生从算术的学习转向代数的学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。建构对“相等关系”的理解是形成方程概念的基础。新标准既提出了内容要求，又给出了学习路径，即把学习的过程置于一个学生能够体验的环境，从而在直观的感受中，理解字母表达式所反映的等量关系。二是将原来的“会用方程表示简单情境中的等量关系”修改为“能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5,2x－x=3），了解方程的作用。”方程的学习，以往注重的是有关概念和技能，学生没有经历数学建模的过程，无法真正体会方程的价值，应用意识和实践能力的培养成为空中楼阁。会用方程表示简单情境中的等量关系，就是在具体情境中，用方程建立等量关系，有利于学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。三是将“理解等式的性质”修改为“了解等式的性质”。利用等式的性质解方程，其目的是加强与中学数学教学的衔接。因为过分强调方法统一，学生个性受到一定压制，很难体验“解决问题方法多样化”。从“理解”调整为“了解”，降低对“等式性质”学习的要求表明：根据等式性质解方程只是其中的一种方法，允许学生选用不同的方法解方程。这样调整，既不妨碍中小学数学教学的衔接，也尊重了学生已有的知识经验。

2.教学中需要注意的问题。

（1）教学用字母表示数，应让学生经历符号化的过程。

用字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。教学用字母表示数，应注重引领学生经历从“具体事物—个性化地用符号表示—学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程，理解用字母表示数的意义，体会数学符号的概括作用，发展符号意识。

（2）教学简易方程比例，应让学生体会模型思想。

方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。教学简易方程，教师应有“建模”意识。教学认识方程，应通过设计丰富的情境，让学生用数学方式表述具体情境中的各种关系，再通过观察、比较、分类、交流等活动，经历建立方程模型的过程；教学列方程解决简单的实际问题，应让学生在问题情境中，经历探索、寻找已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系并列方程解答的过程，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力。教学正比例和反比例，应让学生结合具体情境，体会正比例和反比例关系。

课程标准对“数与代数”内容标准的修改，一方面创新并发展经实践证明有利于学生持续发展、符合中国国情的现代课程内容，另一方面很好地继承了中国数学教育的优良传统。 

“图形与几何”内容变化及教学思考

作者:南京东方数学教育科学研究所 楚平

新标准把“空间与图形”改为“图形与几何”。课程内容的调整主要是对《九年义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“实验稿”）中文字表述不够清楚或比较生涩、整体结构不够协调、内容安排不够合理的地方作一些调整，以进一步完善几何课程内容体系。

一、核心内容的调整

新标准“图形与几何”部分课程核心内容的变化主要有两个方面：一是在实验稿的基础上对空间观念的内涵进行更概括、更准确的描述；二是首次提出在义务教育阶段应当注重发展学生的几何直观能力。

1．对空间观念进行再描述。

空间观念历来是小学数学课程的核心内容之一。一般认为，空间观念是人脑藉由空间知觉所形成的物体形状、大小、位置关系、运动方式的映象。其主要是通过对事物的空间形式进行观察、分析和描述，展现出再认、保留与回忆图像的思考能力。也就是说，人脑在对现实世界空间形式获得映象的基础上，要能够借助这些映象展开空间想象和推理，并在这一过程中发展空间思维能力。实验稿首次对空间观念的主要表现给出了具体的描述：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”这对教师认识、理解空间观念的含义和特点，探索发展学生空间观念的教学策略起到了重要的指导作用。

新标准对空间观念的描述是：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”相对而言，这一描述更具有概括性，更能反映空间观念的本质内涵。具体地说，主要有几下几个方面：

(1)“抽象”。几何学是研究几何体和平面图形的空间形式、位置关系和量的关系的学科。几何体是舍弃了现实物体的物质属性，如密度、重量、颜色等，而仅仅从它的空间形式的观点加以考虑的数学对象；平面图形是更一般的概念，其中甚至舍弃了空间的延伸。例如，三角形、平行四边形、圆……是二维的，直线是一维的，点是没有维的，是精确到极限位置的抽象概念。学生的几何学习要经历对现实物体的感觉和知觉的过程，并在这一过程中逐步舍弃其他属性，对其形状、大小和位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何概念。可见，“抽象”是学生建立几何概念过程中最基本的思想方法。

(2)“想象”。小学几何并不是一个严格的公理化体系。学生的几何思维主要诉诸于自身的直观感受和所形成的表象。只有当学生能够以头脑中形成的表象为基本元素，展开想象和推理，学生的空间观念才能真正得到发展。因此，由几何图形想象实物的形状，想象物体的方位和相互之间的位置关系等就成为学生几何学习过程中最重要的思维形式，而这种借助表象展开想象的能力是学生空间观念的重要表现形式。学生在几何学习过程中的想象主要包括：根据几何图形想象物体形状和大小；根据图形之间的联系想象图形的转化过程；根据展开图想象几何体的形状；想象现实空间的方位和物体之间的位置关系；想象图形的运动方式等。

(3)“描述”。现实生活中存在着大量的图形运动和变化现象，而在运动和变化中寻求不变是科学研究的重要方法，也是图形运动学习内容的价值所在。学习和探索图形的运动和变化，就是要使学生在探索和理解“变”与“不变”的过程中，抽象出图形运动的方式，并能借助已经形成的表象描述物体的运动和变化。这既是空间观念的重要表现形式，也是发展学生空间观念的重要途径。这里的“描述”可以是用语言进行描述，也可以是用图形进行描述。主要内容有：描述图形的轴对称；描述图形的平移和旋转；描述图形的放大和缩小。

(4)“画出”。依据语言描述画出图形，是思维与外部语言、操作技能协同作用的结果。“画出”是具体的行为，而行为受观念或思想的制约。“画出”图形的过程中，学生同样需要借助表象和已有的经验进行数学地思考。因此，依据语言描述画出几何图形也是空间观念的重要表现形式。画出几何图形主要包括画图表示学过的平面图形，组合图形，图形之间的关系，以及在方格纸上表示图形的位置，图形的运动和变化等。

2．明确提出发展学生几何直观的课程目标。

新标准将实验稿中“空间观念”的具体表现“能运用图形形象地描述问题，能利用直观来进行思考”单列出来，作为几何直观加以阐释，以凸显几何直观在学生数学学习过程中的地位和作用。

“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。具体地说，几何直观是指学生通过几何学习，在掌握几何图形结构特征、空间关系以及度量的基础上，学会借助图形的几何性质表征数学事实，描述、分析和解决数学问题，探索和发现简单数学规律，初步形成从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论证（小学不涉及几何证明）的能力。

“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。归纳起来，几何直观的教育价值主要有以下四个方面：第一，有助于强化学生的数学理解。一方面，数学抽象地反映着客观世界，人们在认识和理解抽象的数学知识的过程中往往要借助视觉形象来表征，以更加清晰地把握知识的实质和关键，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。另一方面，直观的背景材料和几何形象能为学生创造自主思考的机会，促使他们通过自主探索和合作交流，发现和再创造数学知识，获得对数学的深刻理解。因此，几何直观是揭示数学对象的性质和关系的有力工具，也是学生认识和理解数学不可或缺的辅助手段。第二，有助于启迪学生的解题策略。借助几何直观描述数学问题，能强化学生对问题信息及其关系的理解，能帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法，获得正确的解题思路。第三，有助于促进学生的数学思考。数学的抽象性和学生思维的直观形象性始终是数学教学中一对矛盾。而直观的几何图形是学生最容易利用的数学形象，几何直观可以架起联结具体与抽象的桥梁，起到调和矛盾的作用。借助几何直观，可以促使学生更有成效地展开数学思考，揭示数学对象的性质和关系，获得形式化的数学知识，使思维逐步转向更高级、更抽象的层面。因此，几何直观可以帮助学生透过现象看本质，有助于发展数学思考，形成良好的思维品质。第四，有助于增强学生的创新意识和实践能力。很多时候，学生解题的灵感往往来自于几何直观。解决问题时需要把抽象的数学问题转化成可借用的几何直观问题，才有可能展开想象和创造性的探求活动。从这个意义上说，几何直观对于培养学生创新意识和实践能力都是十分重要的。

理解几何直观还应该弄清几何直观与以下几个概念之间联系：（1）几何直观与直观化。直观化是一个外延相对宽泛的概念，且具有多种表征形式，不仅包括直观的背景材料，如实物、图表、插图、物体模型等，还可以是现实的情景问题、学生头脑里的“数学现实”和外显化的数学模式等。而几何直观是指利用图形的几何性质描述和分析问题的过程。（2）几何直观与空间观念。几何直观和空间观念是有着密切联系的统一体，两者是相辅相成、相互促进的。一方面几何直观是建立在空间观念基础之上的，没有一定的空间观念就谈不上几何直观，另一方面借助几何直观描述和分析数学问题的过程也是学生联系具体的问题情境展开想象和思考的过程，这一过程本身就是发展空间观念的重要途径。（3）几何直观与数形结合。数形结合是把数和形结合起来考察数学对象，即在研究问题的过程中，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，使复杂问题简单化；或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使抽象的问题具体化。而几何直观是把抽象的数学对象直观化、可视化，即形成和使用关于数学概念、性质、法则，以及数学问题的几何表征的过程。

二、具体内容变化

“图形与几何”部分在结构上没有变化，只是把实验稿中“图形与变换”改为“图形的运动”。在教学内容和要求上，调整的幅度也比较小，主要有以下几个方面：

1．删减的内容。

第一学段，由于学生对图形的认识以直观认识为主，图形学习经验并不丰富，基本的操作技能还没有形成。因此，新标准适当删减了一些学生在这个阶段理解或操作有困难的学习内容。主要包括：删去“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”，相关要求放入第二学段教学，第一学段只要求“能辨认简单图形平移后的图形”；删去“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”，相关要求放入第二学段；删去“会看简单的路线图”；删去“体会并认识面积单位（千米²、公顷）”，相关要求放入第二学段。

第二学段，删去“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”，并把“两点确定一条直线”移到第三学段，作为“基本事实”进行教学。

2．降低要求的内容。

认识东、南、西、北和东北、西北、东南、西南等八个方向，是进一步学习图形与位置有关内容的重要基础，也是很重要的生活技能。而学生对现实空间良好的方位感的形成，关键在于熟练掌握东、南、西、北这四个方位。因此，新标准适当降低了这方面内容的教学要求，把根据“给定一个方向（东、南、西或北）辨认其余七个方向”，改为根据“给定东、南、西、北四个方向中一个方向，能辨认其余四个方向”，并且只要求知道“东北、西北、东南、西南”这四个方向。

3．增加的内容。

实验稿中要求学生认识扇形统计图，但没有安排认识扇形的学习内容。新标准在第二学段增加“知道扇形”的要求，使课程内容更加完整，也有利于学生进一步丰富对圆的认识，加深对扇形统计图特点的理解。

4．进一步规范课程目标的表述。

新标准对实验稿中表述不够准确、清楚的目标进行了必要的修改，以使课程目标的表述更准确、规范、完整。例如，在第一学段，将“通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征”改为“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；将“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”改为“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状”等。在第二学段，将“能区分直线、线段和射线”改为“结合实例了解线段、射线和直线”；将“欣赏生活的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案”改为“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们设计简单的图案”；将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式”等。

三、对教学的几点思考

“图形与几何”相关内容的教学主要是在学生已有的知识和经验基础之上，通过观察和操作、比较和分析、抽象和概括、推理和判断等活动，帮助学生认识常见几何图形和几何体的形状、大小、位置关系、运动方式，使学生更好地认识和把握现实空间，发展空间观念、几何直观和推理能力，以及运用所学知识解决实际问题的能力。

1．关于空间观念的教学。

发展学生空间观念的教学策略是多样的，观察与操作、抽象与概括、想象与推理等都是学生感知和体验现实世界的空间形式和关系，建立几何概念，形成空间观念的重要途径和方法。

(1)经历图形抽象的过程。学生的几何学习是一个不断抽象的过程，即在具体的观察和操作活动中获得对研究对象的丰富感知，并逐步舍弃其物质属性，建构正确的空间形式和关系。教学中，要引导学生经历由物体抽象出几何图形的过程，通过对具体实物、几何模型、几何图形等材料的观察，通过搭一搭、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、做一做、画一画等具体的操作活动，使学生的视觉、触觉、听觉等多种感官协同作用，形成对研究对象的本质属性及性质之间关系的充分感知，完成对具体对象的抽象，形成相应的空间表象，获得对几何知识和方法的理解，发展空间观念。

(2)经历空间想象的过程。想象是数学思维的基本要素，是数学认知活动中不可缺少的环节。在几何学习过程中，想象往往伴随着观察、操作等活动展开。学生通过想象能直接、有效地获得物体的位置、物体间距离以及位置关系的表象，形成正确的概念表征。因此，空间想象是学生几何学习过程中最重要的学习方式之一，是学生发展空间思维、建立空间观念的关键因素。教学中，要引导学生经历借助图形表象展开空间想象的过程，使学生在想象、判断、说理的过程中，不断加深对所学知识的认识和理解，发展想象能力、语言表达能力和空间观念。

(3)经历直观推理的过程。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。小学生几何学习过程中的推理很大程度上是依赖直观展开的，学生的几何推理能力主要是在图形的转化、变换等过程中得到发展的。教学中，要引导学生在观察与操作、比较和分析、抽象和概括、归纳和类比、想象和交流等活动中，逐步认识图形的特征及性质，了解不同图形之间的关系，解释或解决一些简单的几何问题，发展空间观念和推理能力。

2．关于几何直观的教学。

教学中，既要注重引导学生借助图形直观理解有关的数学知识，又要注意引导学生经历用图形直观描述、分析和解决问题的过程，并逐步养成借助图形直观展开数学思考的习惯。

(1)借助图形表征数学对象。小学数学中，相当一部分数学知识都是伴随着几何意义而存在的，加强数学事实几何意义的阐释，有利于学生形成相应的表象，促进对数学知识的理解和记忆，有利于学生积累表象建构的经验，同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。教学中，要注意从学生年龄特点和已有的知识经验出发，有计划、有步骤地引导学生利用图形直观表征数学概念、性质、法则，以及量的关系，帮助学生获得清晰的表象。需要注意的是，低年级学生一般不具备利用几何图形描述数学概念的能力，他们更易于接受实物或实物图的直观，但这并不意味着教学时不能采用图形直观。相反，要注意根据学生的实际，采取适当的措施，引领学生逐步由实物直观向图形直观过渡。

(2)借助图形描述问题。一般来说，纯文字形式的问题相对比较抽象，如果能把抽象的问题以直观图示的方式表达出来，学生就可能主动发现条件和问题之间的联系，找到解决问题的方法。因此，教给学生用直观图示描述问题的方法，是发展学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的重要前提。教学时，一要注意诱发学生画图描述问题的主观愿望。当学生在解决问题的过程中遇到困难时，可以引导思考：“问题难在哪里？怎样整理条件和问题？”以诱发学生画图描述问题的心理需要。二要教给学生一些必要的画示意图的技能。通过教师示范并逐步放手让学生独立画图，形成必要的技能。三要注意培养画图描述问题的习惯。完成解题后，要注意引导学生回顾解决问题的过程，并通过比较和交流，帮助学生深刻体会直观图示在分析和解决问题过程中的作用。

(3)借助图形分析问题。加强几何直观教学并不是只要求学生能给出数学知识的图形表征，还要充分发挥图形直观在发现问题、分析问题过程中的作用。注意为学生创造主动思考的机会，鼓励学生借助图形直观进行比较、分析和想象，展开直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，获得解决问题的方法。

(4)借助图形解决问题。几何直观在解决问题的过程中起着提示解题思路、预测结果的作用，是探索数学规律、解决数学问题的有力帮手。学生在开始接触数学问题时，往往会习惯性地对问题做出一种直观判断。教学中要充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程，特别是一些可以利用图形直观来描述的问题，不必急于给出解决问题的方法，而要鼓励学生借助图形直观提出猜想或猜测，并尽可能地从中找到解决问题的思路或直接利用直观手段求解，以帮助学生不断积累借助图形直观进行思考的经验，发展几何直观能力。

“统计与概率”内容变化及教学启示

作者:南京东方数学教育科学研究所 黄为良

    “统计与概率”是实验稿所规定的小学数学课程内容之一。由于这部分内容与传统的“确定性数学”存在较大差异，部分教师对“统计与概率”的核心思想、统计与概率的联系和区别、课堂上应当突出的关键和重点，以及不同年级学生应当达到的理解深度和应用能力等问题，或多或少还存在一些困惑和认识上的分歧。为此，新标准对这部分内容做了较大的调整：一方面明确统计课程的核心是数据分析观念，强调义务教育阶段统计教学的关键在于使学生想到用数据、愿意亲近数据，初步培养通过数据来分析问题的习惯，在活动中逐步提高对随机现象的把握能力；另一方面，重新梳理、整合统计与概率的内容及相关教学要求，使得义务教育阶段三个学段的学习层次更加明确，从而有利于广大教师准确把握教学重点和关键。

    一、进一步明确和强调的内容

    实验稿在“前言”部分给出了各部分内容学习的关键词，也是相关内容中最为重要的核心。所谓核心，不是指具体的知识点，甚至不是指具体的知识本身，而是概括很多知识的共性所反映出来的思想和思维方式。[1]就统计而言，实验稿给出的关键词是“统计观念”，其内涵是：“能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。”容易看出，统计意识、统计过程、质疑评价是“统计观念”所关注的三个主要方面。相应地，新标准给出的统计学习的关键词是“数据分析观念”，其内涵是：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”

    “数据分析观念”与“统计观念”是既有联系又有区别的两个概念：它们的联系主要表现在对经历完整的统计过程，逐步培养运用统计方法分析和解决简单实际问题的重视上；区别在于，后者更加关注数据在统计活动中的基础地位、数据分析方法的特点，以及数据处理过程所蕴涵的更为一般的数学思想。

1.统计研究的基础是数据，统计就是通过数据来进行分析和推断的。

当今世界，人们在实际生活中所面临的数据越来越多，经济、科技、教育等各行各业中都存在大量需要通过数据分析来获取信息、作出决策的例子。因此，必须树立利用数据的意识，掌握一些分析数据的方法和模型。所谓数据，是指用来描述对客观事物观察测量结果的数值。当我们对某个随机变量（比如某个年龄的学生身高）进行观测时，事先不能预料会取到谁的身高，而一旦某位同学被抽取到，就称这个人的身高数值为这个随机变量（身高）的一个观测值，即数据。[2]广义地讲，数据不仅指具有现实背景的数，也包括图和语句。比如，网络中的搜索引擎就是用统计方法进行语句检索的，此时统计所处理的数据就是语句。[3]

作为统计研究基础的数据，往往具有随机性的特点。这种随机性主要有两层涵义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能是不同的；另一方面，有足够的数据就可能从中发现规律。例如，记录某位同学每天的上学时间，每天得到的数据可能是不一样的，事先无法确定；但只要记录的数据足够多，就可以从中发现一些确定的信息，比如该同学每天上学时间大约是多少等。

构成数据随机性的原因主要有两个：一是数据的抽样过程。首先抽样方法本身通常是随机的，因为按随机性原则抽取的样本，能够较好地排除人个主观的选择与成见，从而使得样本能够尽可能具有对总体的代表性；同时这种代表性也不是绝对的，相对于总体参数而言，它只是趋近于后者，而不可能完全等同于后者。其次，抽样过程中的数据本身也可能是随机的，特别是连续性数据的测量，由于测量工具、观察者角度、测量时间等各种各样的原因，每次测量的结果事实上都会存在误差，也就是存在一定的随机性。二是由部分推断总体的过程。统计推断不同于演绎推理，它总是归纳性的，其结论永远带有一定的或然性，不一定准确无误，甚至有可能是错误的。好的统计方法能够保证这种出错的可能性较小。

在以往的课堂教学中，我们更多关注的是概率事件的随机性，而上述“数据随机性”则主要表现在统计活动过程中。换句话说，引导学生在统计活动过程中体会随机思想是“数据分析观念”的基本内涵之一，也是需要我们特别予以关注的一个重点。

2.数据分析的方法可以是多样的，不同方法没有对错之分，只有好坏之分。

    对不同数据分析方法的选择源自两个原因：一是因为对样本数据的不同理解；二是基于研究问题的目的和解决问题的需要。例如，对于两家公司最近五年出口贸易额的数据，我们既可以逐年比较它们的绝对数额，也可以逐个分析每家公司近五年出口贸易额的增长幅度。前者有利于我们了解每家公司的实力，后者则有利于我们掌握每家公司的发展潜力。又如，有两组同学的投篮成绩，一组是10人，另一组是8人。对这样的两组数据进行分析是否一定要采用平均数呢？结论自然不是肯定的：如果我们要比较这两组同学投篮的整体水平，可以取每组成绩的均值──成绩相对比较均衡用平均数，有极端数据也可用中位数；如果想从中选拔投篮水平高的选手，则可直接比较每组的最高成绩或前三名成绩，等等。这就是说，数据分析方法的选择应该依赖于研究问题的目的以及解决问题的实际需要。

    小学数学中对统计图形的选择以及根据统计图表中的数据回答不同的问题，事实上也可以看作是用不同方法对数据进行分析。同样的数据，希望研究的问题和获得的信息不同，所选择的数据分析方法自然也应有所区别。因为可以用各种方法对数据进行归纳整理、分析判断，所以得到的结论可能不同也就十分正常了。同时，十分重要的一点是，各种数据分析方法本身通常很难区分对错，能够区分的只是好与不好──如果能够客观地反映实际背景，这样的方法就是好的；反之，则是不好的。这也是统计与确定性数学内容十分重要的区别之一。

    3.统计体现了一种不同于确定性数学的思维方式，这种思维方式有助于培养学生的归纳能力和创新意识。

传统数学由于其所研究的问题本质上是确定性的，基础是定义和假设，遵循约定的原则进行严格的计算或者推理，因而更多体现的是演绎；统计所研究的问题本质上是随机的，是非确定性的，需要通过较多的数据进行推断，也就是通过个别来推断一般，因而更多体现的是归纳。[4]

统计活动中的归纳还有别于一般数学规律和公式的归纳过程：公式和规律往往是确定的，学生用于归纳的素材可以不同，但得到的结论一定是相同的；统计活动中的归纳往往需要从一堆杂乱无章的数据中提炼信息、把握规律，或者从样本出发推断整体，这个过程本身就具有诸多不确定性，所以得到的结论也就具有个性化特点。显而易见，经历统计活动中的归纳过程，既有助于学生真正获得属于自己的结论，同时也有助于培养他们初步学会用不确定的思维看待客观事物及其规律，知道世界上大部分事情都处于随机状态，它们是否发生以及怎样发生尽管不能完全确定，但也是有规律可循的。

    二、教学要求有所调整的内容

    新标准在进一步明确要把“数据分析观念”作为统计内容核心的基础上，又依据广泛调研的结果，针对教材实验过程出现的问题，重新梳理并整合了“统计与概率”的课程内容。就小学阶段而言，内容难度有所降低，容量有所减少，具体有以下几点：

    1.第一学段鼓励学生用自己的方式呈现数据整理的结果。

    这里所说的“学生自己的方式”，包括文字、图画和表格，但显然不是指规范的统计图表形式，如一格表示一个单位的条形图等。换句话说，只要学生能将数据整理的结果清楚地呈现出来，我们不仅无需提出“方式”上的要求，而且应该鼓励他们采取富有个性的不同方式。这样做的目的，一是为了避免学生把注意力过早集中于统计图表的认识和制作等技能的学习，从而影响对数据收集、整理和呈现等学习过程的兴趣；二是为了引导学生基于感兴趣的实际背景，从数据的角度发现问题、提出问题、讨论问题，从而体会数据是蕴涵信息的，现实生活中有很多问题可以通过收集数据，以及相应的分析和交流作出判断。

    2.对平均数的认识从第一学段移至第二学段，对中位数和众数的认识从第二学段移至第三学段。

    对第一学段的学生来说，他们在开展统计活动时，关注的重点通常是一组数据内部所蕴涵的各种信息，例如，一组数据中的最大值、最小值各是多少，最大值与最小值相差多少，哪个数值出现的次数最多，与学生自身有关的数据处于什么位置，等等。到了第二学段，学生则应该更多地学会把一组数据作为一个整体来看待，学会从整体上描述一组数据的特征，或把一组数据与另一组相关数据进行比较。而平均数、中位数和众数都是用来刻画一组数据整体水平的统计量，因此，在学生初步积累收集、整理和分析数据的活动经验之后，再安排平均数、中位数和众数的学习是较为恰当的。

    另一方面，尽管简单算术平均数的计算方法并不复杂，但真正理解它在数据处理过程中的意义和价值，恰当地使用平均数，却并不是一个容易达成的目标。尤其是，如果在学习平均数之后，接着安排中位数和众数的学习，就势必会涉及这三种统计量的比较和选择，即：平均数、中位数、众数之间到底有什么区别？在具体情境中到底选择哪种统计量更具有代表性？真正弄清这些问题，既需要对统计活动的现实背景以及相关问题的特点具有较为透彻的理解，而且还涉及函数概念以及相关的代数运算。所以，把中位数和众数的学习移至第三学段是较为务实的选择。

    3.降低了“可能性”的教学要求。

    统计和概率都是用来摹写、刻画随机现象的数学方法。所谓随机现象，是指结果与条件之间不存在必然联系的现象，即在一定条件下某种结果可能会发生，也可能不发生。尽管统计和概率都研究随机现象，而且从知识逻辑看，统计学的研究需要以概率论为基础，但从认知角度看，统计比概率更为具体，概念和定义也少得多，因而小学阶段通常以统计内容的学习为主。

    新标准在第一学段删除了可能性的教学要求，同时在第二学段只要求学生“通过实例感受简单的随机现象，能列出简单随机现象中所有可能发生的结果……感受随机现象中结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单随机现象发生的可能性大小作出定性描述。”这里有两点需要特别加以关注：一是明确所涉及的随机现象仅限于简单随机事件，即所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性亦是相同的；二是只要求对可能性大小作出定性描述，而不要求进行定量表达。显然，这些教学要求的调整，一方面是为了引导学生更多地关注试验、游戏等蕴涵随机现象的活动过程，在活动中逐步感受随机现象的特点，体会相应的思维方式，积累学习经验；另一方面，也是为了引导学生更多地学会从数据的角度看待可能性大小，知道有些事情需要通过调查去估计或推断，养成用数据分析问题的习惯，而不是急于从定义和假设出发进行概率计算。

    4.删除了“初步体会数据可能产生误导”的教学要求。

就一组数据而言，大部分情况下它们是符合或近似地符合正态分布的，但也有一些情况下数据的分布是偏态的，也就是存在极端数据。对于后一种情形，如果不加分析地采用某种统计量（如平均数）去表示它们的整体水平，则可能使人产生一种错觉，这就是所谓的“数据误导”。认识到数据有可能产生误导，就应根据数据特点和解决问题的需要去选择适当的统计量，以便更为客观地反映数据特点以及相关现象的本质。同时，也可以进一步考察一组数据的离散程度，通过计算极差、方差等使数据的特点从不同角度得以显现。显而易见，由于中位数、众数等知识的后移，对上述内容的认识和体会自然也不再适合放在第二学段。

三、几点教学启示

如前所述，小学生学习统计与概率，重要的不是制作统计图表、计算平均数，以及求某个简单随机事件发生的可能性大小，而是要发展数据分析观念，包括“养成通过数据来分析问题的习惯；初步建立随机的概念，学习如何去判断事情的主要因素”^[5]。另一方面，培养学生的数据分析观念，关键应依赖于他们的经验，特别是他们亲身经历的经验。也就是说，让学生完整地经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步学会提出用数据表达的问题，通过收集、组织、展示数据以及选择和运用适当的方法分析数据，进而回答问题、作出判断、进行预测，是培养学生数据分析观念的基本途径。

1.基于解决问题的需要收集数据。

收集数据的主要目的是为了回答那些无法立即找到答案的问题。事实上，培养数据分析观念的首要方面就是引导学生有意识地从数据的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能够想到通过设计简单的数据收集计划来回答这些问题，从而体会数据是有用的，数据中往往蕴涵着我们想要的信息，数据能够帮助我们作出判断和决策。

考虑到不同年龄阶段学生生活经验和认知水平的差异，我们应该努力创设不同的情境，使学生有机会从这些情境中发现并主动提出一些需要借助数据来回答的问题，通过数据的收集、整理、展示和分析，获得自己想要了解的信息或使问题得到合乎情理的解释。对第一学段的学生来说，应侧重于引导他们提出一些与自身有关的趣味性问题，并使他们提出问题的自然倾向得到保护和延续。例如，喜欢的小动物，喜欢的运动项目，喜欢的饮料，喜欢的电视节目，作业本上小红花的数量，等。对第二学段学生来说，应引导他们更多地关注与学校、家庭、社区有关的现实问题，并把兴趣从自己的周边环境逐步转向其他情境，包括社会现象、自然现象以及其他学科中具有特定意义的问题。例如，自己家一周扔几个垃圾袋，同学们收看某个电视节目的情况，全班同学的身高体重情况，当地的气温变化情况，某种植物的生长情况，等。

在提出一个问题之后，还应适当帮助学生明确具体的数据收集方法。第一学段可重点引导学生通过举手数数、逐个询问、投票等方式获取数据。第二学段则应鼓励学生多开展一些实际调查或测量活动，可以是在课堂上能够完成的，也可以是需要花上一段时间才能完成的。此外，作为收集数据计划的一部分，还可提醒学生：要根据数据收集过程中出现的新情况，适当调整相关选项甚至是最初的问题；也要注意数据收集的一些具体环节，如提什么样的问题及向谁提问题，观察什么及什么时候观察，测量什么及怎样测量，等等。

2.用不同的方式整理和展示数据。

无论是调查、测量，还是试验，得到的数据通常都显得有些杂乱，此时就需要对这些原始数据进行必要的整理。整理数据在很多情况下并不仅仅是为了让自己更好地理解数据、获得信息，同时也是为了与别人进行交流，与别人分享对问题的理解，并引发对相关问题的讨论和思考，从而也就需要选择合适的方式进一步地展示数据。

整理数据的基本方法是分类。分类是需要标准的，不同标准下的分类结果往往是不同的，由此获得信息自然也会有所差异。就教学而言，一方面要注意引导学生从“呈现每个数据”逐步过渡到“分类呈现数据”，以及“按不同标准分类呈现数据”。例如，就“家里有几口人”这个问题，低年级可以要求学生用自己的方式呈现小组里每个同学家里的人数，此后可以逐步过渡到要求他们按“3人以下、3人及3人以上”的标准分类呈现全班同学家庭人口的情况；到了中年级，除了要求按家庭人口数进行分类之外，还可要求按“两代人、三代人、三代以上”这样的标准重新分类，从而进一步体会标准对于分类的意义。另一方面，要引导学生逐步学会自己给出标准，并注意标准自身的严谨性。这里，数据类型标准通常是比较容易理解的，但数据的数值范围标准则需要多一些指导。例如，就“喜欢的小动物”这个问题，学生通常不难给出标准；但如果进一步讨论“你家饲养某种小动物的情况”，那么大部分学生就会感到困难。此时要通过组织讨论，使他们认识到可以采用诸如“不养、养1只、养1只以上”这样标准去收集和整理数据。

至于数据的展示方式，一方面要鼓励学生用自己的方法去表达对相关数据信息的理解，另一方面也要通过合适的情境，使学生体会引入相关统计图表的必要性，并在统计图表的选择过程中不断把握各种统计图表的特点和作用，学会根据研究问题的需要合理选择恰当的数据展示方式。此外，还应适当引导学生从周围环境中了解各种富有特色的数据展示方式。

3.从不同的角度分析数据。

从不同角度分析数据，以便从数据中获得尽可能多的信息，并发现蕴涵其中的一些规律，是“数据分析观念”最为重要的内容之一。依据小学生的认知发展特点，一般认为，教师应着重从以下几个方面来引导学生从统计图表（包括各种“自己的方式”）中获取信息、作出估计或推断。

第一，要引导学生从只关心个别数据（尤其是极端数据）逐步过渡到关注一组数据的方方面面。例如，就全班同学身高情况这个问题，学生通常首先会关注这组数据中的最大值是多少、最小值的多少、最大值与最小值相差多少等问题。以此为基础，我们可以引导学生进一步讨论这组数据中每个高度段各有多少人，哪些高度段的人数较多，哪些高度段的人数较少，自己处于什么位置等问题，从而使他们初步体会分析数据的一些基本方法。

第二，要引导学生逐步意识到把一组数据看作一个整体是非常重要的。可以通过对两组相关数据的比较，使学生认识到要清楚地确定两组数据间的异同，仅靠说明每组数据中的最大值、最小值或数据分布情况是不够的，由此引入均值的概念；也可在讨论一组数据中的最大值、最小值以及全部数据的分布情况后，要求学生找出一个能够代表这组数据整体水平的数值，从而感受平均数提供的是什么样的信息，它在相应现实背景中究竟具有怎样的意义。

第三，要引导学生从关注“数据本身能够说明什么”逐步过渡到“基于数据进行一些有意义的推断”。例如，从自己班同学中超过一半的人有蛀牙，是否可以推出同年级其他班级同学，乃至全校所有同学的蛀牙情况？上面哪个判断要可靠一些？要使推断更加可靠可以怎样做？事实上，这样的推断或多或少已经涉及样本与总体的关系。尽管小学生不大可能也无需理解样本与总体等概念，但可以借此初步感受样本与总体的关系。如果我们能够在活动中适当组织一些如上的讨论，或者将从全班同学中获得的数据与更大范围的相关数据进行一些有意义的比较，相信学生对数据的理解将更加透彻，基于数据所进行的思考也将更加深入。

4.在数据分析的基础上估计可能性的大小。

我们知道，判断一个简单随机事件发生的可能性大小，通常有两种方法：一是列举出这个随机事件所有可能发生的结果，再根据这些结果作出判断。二是先进行试验，并记录由试验所产生的数据，再根据收集的数据去估计相关结果发生的可能性大小。事实上，上述第一种方法是基于定义和假设的概率计算，而第二种方法则是基于数据的统计推断。在第二种方法中，尽管每次摸出的球的颜色是不确定的，但是只要摸的次数足够多，我们就能从中发现一些规律，进而做出相应的估计和推断，而这些正是数据随机性特点的基本内涵。因此，这样一种“运用数据进行估计”的活动既有助于学生从不同角度丰富对统计与概率的认识，同时也有助于凸显随机思想。

此外，在上述摸球活动中，我们也可以适当组织学生讨论：要使估计的结果更准确，应该怎样做？通过讨论和相应的活动使他们进一步体会到：要使估计的结果更加准确，需要增加摸球的次数；摸球的次数越多，估计的结果就越准确。一般来说，这样的经历有助于学生进一步增强数据分析意识，提高运用数据分析和解决问题的自觉性。

参考文献：

[1][3] 史宁中，等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J] .课程·教材·教法，2008(6).

[2] 张奠宙，过伯祥.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4][5] 史宁中，等.中小学统计及其课程教学设计[J].课程·教材·教法，2005（6）.

“综合与实践”内容变化及教学启示

 作者:南京东方数学教育科学研究所 侯正海

新标准将“实践与综合应用”改成“综合与实践”，不再像过去那样统称为“实践与综合应用”（三个学段又具体分为实践活动、综合应用和课题学习）。这样的修改有利于教师在整体把握这一领域教学目标的基础上，灵活而富有弹性地组织教学。

一、“综合与实践”的教育价值

实验稿设置“实践与综合应用”这一领域的意图主要有三个方面：一是发展解决问题的能力，二是加深对其他几个领域内容的理解，三是体会各部分数学内容之间的联系。新标准在阐述“综合与实践”内容设置的目的时明确指出：“培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。”

仔细分析，新标准关于“综合与实践”设置的目的与实验稿在以下三个方面是一脉相承的：

1.能够帮助学生建立数学各领域之间和某一领域内知识之间的联系，体现数学课程的综合性。

虽然新标准在内容设置目的的表述中没有直接提及加深对其他几个内容领域的理解，体会各部分数学内容之间的联系，但“综合运用已有的知识和方法”这一表述则既指明了解决现实问题的具体途径，也必然包含实现上述目的的意图。

基于数学知识的内在结构和学生学习数学的一般规律，学生的数学学习过程中往往都是线性展开的，即在某一段实践里总是围绕某一个主题内容循序渐进、逐步深入地学习。虽然教师在课程实施时也会重视沟通知识之间的联系，但毕竟只是在某一单元或学期结束时才会对松散状态的知识进行梳理，而这种梳理更多的是局限于帮助学生建立某一领域内容的知识结构。而在“综合与实践”内容的学习中，由于面对的问题具有现实背景，因而往往需要综合运用数学知识和方法才能加以解决。这类问题一般不同于运用某一领域的知识就能解决的问题，这也是新标准中突出强调提高学生解决“现实问题”能力的原因。因此，“综合与实践”的学习对于学生整体地了解数学的面貌，深化对具体数学内容的理解，都是十分有益的。

2.有利于改善学生的学习方式，积累数学活动经验。

实验稿要求学生经过“自主探索和合作交流”解决问题，新标准中对此没有明确表述，但在描述“综合与实践”的性质时提到“以学生自主参与为主”。实际上，学生在面临一个具有挑战性的现实问题时，仅靠模仿、记忆等方式是很难解决的，必须结合具体问题分析信息，规划解决问题的思维方向，沟通信息之间的联系，确定解决问题的思路，完成这一过程常常还要借助动手实践、自主探索和合作交流。一方面，学生在参与综合与实践，经历自主探索、与同伴合作交流解决问题的过程中，容易感受到积极探索与合作交流是一种自然的需要；另一方面，在自主探索与合作交流顺利解决问题的过程中，学生会从中获得愉悦的成功体验，这种体验又必然强化他们对这些学习方式的认同。

在综合与实践的过程中，强调“以学生自主参与为主”，需要注意两个方面：一是突出学生经历解决问题的实践和探索过程，获得解决问题的直接经验；二是并不排斥教师的指导和帮助，只是在这一过程中，教师的指导和帮助与其他学习内容相比应该有所减少。以自主参与的方式学习对于激发学生的主动性，解放学生的身心，开发学生的创造潜能都是十分必要的。

3.有利于提高学生解决实际问题的能力，发展应用意识。

“综合与实践”领域的设置，有助于引导学生将数学真正运用到具有真实背景的现实生活中去，一方面可以检验学生对数学知识和方法的理解与运用程度，发展数学思维；另一方面可以逐步增强学生的数学应用意识，也即“主动地将数学与现实世界相联系的意识”，从而树立正确的数学价值观。

在实验稿的基础上，新标准更加旗帜鲜明地提出在“综合与实践”的学习中发展学生的问题意识和创新意识，帮助学生积累数学活动经验。意识是感觉、思维等各种心理过程的总和。问题意识，主要是指学生通过对所感知的信息进行分析，或者仅仅依靠直觉，发现和提出问题的心理过程。如果说在其他几个内容领域的学习中，学生更多的是在分析和解决教材中或教师提出的问题，那么在“综合与实践”内容的学习中，学生则可能有更大的空间去自己发现感兴趣的问题并进行分析和研究。问题意识又和创新意识是联系在一起的，是创新的基础。

创新意识是一种不因循守旧，力求更新、改变或创造的意识。由于“综合与实践”探索的问题本身具有的综合性、开放性和挑战性，对于学生而言，通过收集、选择信息发现和提出问题，通过整合、分析信息，综合运用已有的知识和方法解决问题，这一过程本身即是一个创新的过程。

数学活动经验是学生在经历数学活动过程中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验。江苏省教研室王林先生认为，数学活动经验应该既包括经历数学活动所获得的经验本身，也包括经历数学活动获得经验的过程。新标准明确指出：“‘综合与实践’是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的‘综合与实践’问题的过程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值。通过这样的教学活动，学生会逐步积累运用数学解决问题的经验。”由于“综合与实践”重视学生自主参与学习活动，因而是学生积累数学活动经验的重要载体。

可以说，“综合与实践”领域的设置对于打破封闭的数学观，更新传统的教师观和学生观，改善传统的教学观等将发挥积极的影响。

二、“综合与实践”的教学要求和内容变化

新标准对于“综合与实践”的学习性质进行了刻画：“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。所谓“以问题为载体”，横向看是解决学生熟悉和容易理解的现实生活中的问题，有时也可能是数学问题；纵向看引导学生综合运用已有的知识经验，经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程。如果没有有意义的问题作支撑，可能就不是真正的“综合与实践”活动。“以学生自主参与为主”则突出了学生的主动性，教师的教要真正让位于学生的学。上述言简意赅的描述对于教师准确地把握“综合与实践”的教学关键十分必要。

新标准还明确提出，“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。这就是说，每学期都必须要开展“综合与实践”活动，某一次活动的教学时间可长可短，教学空间可延伸至课外，教学形式灵活多样，需要考虑融入其他三个领域具体内容的教学活动中。

由于部分教师在“实践与综合应用”领域的教学中感到教学目标与学段要求较难把握，因而，新标准对两个学段的内容目标进行了调整。在第一学段的内容目标中，除继续要求学生通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验运用所学的知识和方法解决简单的实际问题，获得初步的数学活动经验之外，要求“了解要解决的问题和解决问题的办法”，“进一步理解所学的内容”。在第二学段的内容目标中，除继续要求学生了解所学知识之间的联系外，还让学生经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动；体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程；感受设计思路、制订简单的方案解决问题的过程；通过应用反思，进一步理解知识和方法，获得数学活动经验。

粗略地比较可知，新标准的内容目标更加明晰具体，学段要求层次性更合理。第一学段只要参与实践操作活动即可，而第二学段学生将在教师的指导下，经历有目的、有设计、有步骤、有合作的综合与实践活动。关于“以问题为载体”的内涵，第一学段要求“了解要解决的问题和解决问题的办法”，而第二学段则要求“体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”；第一学段要求“体验运用所学的知识和方法解决简单问题的过程”，而第二学段则要求“感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程”。而关于“积累数学活动经验”的目标，第一学段要求“获得初步的数学活动经验”，第二学段则要求“获得数学活动经验”。关于“自主参与”的方式，第一学段主要是“实践操作”，第二学段则主要是“应用和反思”。

三、教学启示

“综合与实践”活动重在实践，重在综合。在教学中需要特别重视以下几个问题：

1.重视问题的选择。

问题是激发学生开展综合与实践活动的直接动因，也是学生经历数学实践与思维活动的载体。问题的选择要关注以下几个方面：一是紧密联系学生的生活经验，学生容易理解并愿意开展实践活动。二是具有一定的开放性和挑战性，便于学生通过自主探索、调查实验、合作交流等方式加以实践。三是具有一定的数学内涵，体现数学与生活、与其他学科或者数学内容不同领域知识之间的联系。如，苏教版教材中安排的“怎样跳得远”，这一活动是学生在体育课上可能进行的活动，但作为数学综合与实践活动，首先需要学生运用体育课上学习的技能进行实践，其次更需要学生综合运用测量、求平均数等数学知识经验进行比较和分析，从而由个体的数据上升到一般规律，即对大多数学生而言，怎样跳跳得更远。第一学段可能教师提出问题多一些，第二学段则要引导学生从具体的现实情境中逐步学会发现并提出问题。除了教材中安排的“综合与实践”的内容主题外，教师还应该紧密结合所在地区、学校的实际，作为综合与实践活动的问题资源。“提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的且有利于实现‘综合与实践’课程目标的好问题。”

2.重视经历实践活动的全过程。

经历数学活动过程本身已经成为数学教学不可或缺的重要目标。综合与实践活动有别于具体知识的探索活动，要特别注重活动过程的展开，重视学生在过程中的体验和感受。过程生发体验，过程激发灵感，过程引发创新。重视学生经历实践活动过程需要注意以下几个方面的问题：一是放手让学生自主参与实践活动。学生在问题的驱动下一般会愿意积极投身实践的过程，教师要注意给学生提供更多的参与时间和空间，让学生完整地经历实践活动过程。二是关注每个学生参与的积极性和参与的程度。每个学生的知识基础不同，经验积累有别，实践与活动能力参差不齐，在学生经历实践活动的过程中，教师要注意了解他们实际参与实践活动的情况，对不同的学生给予有针对性的指导。同时，更要鼓励学生独立思考，在探索与解决问题的过程中加深对相关数学知识的理解和整体性认识，发展数学思维能力。

经历实践活动的全过程，即要求学生经历发现和提出问题，探索实践（提出设计思路、制订简单的方案），交流讨论，获得结论，总结反思等完整的过程。比如，学习立体图形的表面积和体积计算后，有的教师设计了“有趣的包装”这一主题的活动。教学时先让学生欣赏一些设计精美的包装盒，然后要求学生研究几个相同小正方体拼摆后表面积的计算，探索变化规律。这样的教学还没有让学生经历发现和提出问题的过程。在欣赏包装盒之后，可以让学生自己提出期望研究包装的哪些问题，比如需要的材料，所占空间的大小，包装纸上的图案设计等，然后过渡到课上重点研究需要的材料。至于所占空间的大小等其他问题课后可以研究。这样学生就明确了问题的来源。

3.注意给学生提供交流活动过程与结果的平台。

学生在经历实践活动过程的基础上，自然会形成对问题解决或活动过程的独特认识和体验，因而要十分重视给学生提供交流和展示的平台，分享学生群体的智慧。例如，一位教师教学《图形的密铺》这一实践活动时，注意放手让学生任意选择一种图形进行密铺、任意选择两种图形进行密铺，并借助手机照相和蓝牙的无限传输功能，将学生富有个性的密铺图形呈现出来。学生的个性化的学习成果得到展示和尊重，加深对图形密铺的认识。由于“综合与实践”的过程性特点，很多活动无法再课堂上甚至学校中完成，因此学生之间可能并不了解活动的进展情况，教师应该鼓励学生尽量保留有价值的实践活动信息，以小组为单位，采用拍摄照片、制作PPT演示文稿等方式交流和汇报本小组开展实践活动的情况。

4.重视对综合与实践展开过程性评价。

评价的主要功能是帮助教师改进教学，促进学生的学习。在综合与实践的评价过程中，要重视开展过程性评价。在评价学生开展综合与实践活动时，要重视学生的自评和互评，而不应仅仅是教师对学生的评价。在教学中可以让学生在活动结束后以小组为单位，评价自己的学习态度和学习体会，然后小组内展开互评。这一过程对于学生认识自我，建立数学学习的自信心是十分重要的。而教师评价时则主要应该基于对学生活动过程有较清楚认识的基础上，针对全班学生在活动过程中的表现，以及需要注意的问题进行评价，如如何发现有价值的数学问题，如何改进解决问题的方法等，重在帮助学生将具体感性的活动经历上升为理性的活动经验，形成积极的情感态度。

总之，“综合与实践”是以问题为载体、学生自主参与、实践过程相对完整的学习活动。教师在教学中要以“综合”的视野引导学生开展有效的实践活动，积累实践活动的经验，增强应用意识和创新意识。